挨拶に行く順序ですが、お嫁さんをもらう立場の男性が女性の家に最初に挨拶に行くのが一般的ですが、この順序にとらわれず、それぞれの家の事情を考慮して相談の上決めましょう。
もしどちらかの親が反対しそうであればそちらを優先して挨拶に行きましょう。

なるべく相手の両親の都合に合わせるようにしましょう。
また、母親にだけに話し、父親が知らないという事態がないように、それぞれに事前に連絡がいっているように注意しましょう。
挨拶に行く時間は、気を使わせる事がないよう食事にかからない時間にするとよいでしょう。

訪問時の服装は派手な服装は避け、男性はスーツにネクタイが基本、女性は品の良いワンピースやアンサンブルなど多少フォーマルを意識した服装がよいでしょう。また、化粧やアクセサリーは控えめにします。
そして意外に目立つのが靴の汚れです。新品の靴じゃない場合は、中敷きを替えておくことも忘れずにしましょう。

はじめの挨拶をスムーズに行うためにも、相手の親の好みなどを聞いておき、手土産も忘れずに用意しましょう。
手土産の予算は3,000～5,000円ぐらいが一般的です。
あまり高すぎると逆に受け取りづらくなので注意してください。
また相手の家の近くで買うことは避けましょう。間に合わせの印象を与えてしまいます。